西交《高等数学（上）》拓展资源 (五)
西交《高等数学（上）》拓展资源(五)第五章 定积分及其应用
例题1 设 为连续函数， ，求 .
解析 是一个常数，记为 A ，于是 .
将上式两边从 0 到 1 作定积分，有 ，
即 。
所以 ，即。
例题2 计算下列定积分：（1） ； （2） 。
解析 （1）将被积函数作恒等变形：
因为 在区间 上连续，且 是的一个原函数，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，有
原式
（2）函数 在区间 上连续，且 是 的一个原函数，根据牛顿 - 莱布尼茨公式，有
原式
例题3求曲线y=ex，y=e-x和直线x=1所围成平面图形的面积A以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx.
例题4 设生产某种产品x（百台）时的边际成本（万元/百台），边际收益（万元/百台），试求：
(1)产量由1百台增加到5百台时的总成本与总收入各增加多少？
(2)产量为多大时，利润最大？
例题5 在抛物线y=-x2+1上求一点p(x1,y1), 0<x1<1，使过该点P的抛物线的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积最小.
解：过该点P的抛物线的切线斜率为
过该点P的抛物线的切线方程为
即
则使过该点P的抛物线的切线与抛物线及两坐标轴所围图形的面积为
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