openhelp100 发表于 2021-3-16 18:05:03

西交《高等数学(上)》拓展资源 (三)

西交《高等数学(上)》拓展资源(三)
第三章   微分的应用
例题1 证明: 
解析 不妨设 . 注意到 ,可知
                     
   将其认定为函数增量与自变量增量之比,可以考虑利用拉格朗日中值定理证之。
   证法 1 令 ,则 在 上连续,在 内可导。因此在 上满足拉格朗日中值定理条件,可知必定存在 ,使
       
       注意到 ,可得
       
       由此可得 
       当 时,可相仿得出上述结论 .
   证法 2 如果先将所给不等式变形:当 时,化为 ,
令 ,
       则 ,
       因此 在 内单调减少。注意到 ,可知当 时,
有 
       从而 。
       相仿,当 时,所给不等式可恒等变形为 ,令,仿上同样可证。
例题2 求 
解析 先将所给极限变形,利用等价无穷小代换 
      
    
    
例题3 求函数 的极值与极值点,并求相应曲线的拐点、凹区间与凸区间。
解析 所给函数的定义域为 
    
   令 可得 y 的驻点 
   当 x = 0 时, y 不可导。
    
   当 时, 存在。
   列表分析




0





+
0
-
不存在
-
0
+


-
-
-
不存在
+
+
+


凸
极大
凸
拐点
(0,0)
凹
极小
凹

   可知 y 的极大值点为 ,极大值 
   y 的极小值点 ,极小值 
   曲线的凸区间为 ;曲线的凹区间为 .
   曲线的拐点为( 0 , 0 ) .
例题4求 在 上的最大值、最小值、最大值点与最小值点
解析 在 上有定义。
   
   令 可得 的驻点 由于考虑的范围是 ,
而 不在 上,故应舍掉。
   由于 
   可知 为 在 上的最大值点;最大值 为 在 上的最小值点;最小值 
例题5 曲线 ,则( )
    A 、没有渐近线;      B 、仅有水平渐近线;
    C 、仅有铅直渐近线;    D 、有水平渐近线,又有铅直渐近线。
解析 只需依渐近线定义来判定。
   由于 , 因此曲线 有水平渐近线 ,可知应排除 A 、 C.
   由于 ,可知曲线 有铅直渐近线 ,可知 B 不正确, D 正确。
   综合之,本例应选 D.
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