西交《高等数学（上）》拓展资源 (三)
西交《高等数学（上）》拓展资源(三)第三章 微分的应用
例题1 证明：
解析 不妨设 . 注意到 ，可知
将其认定为函数增量与自变量增量之比，可以考虑利用拉格朗日中值定理证之。
证法 1 令 ，则 在 上连续，在 内可导。因此在 上满足拉格朗日中值定理条件，可知必定存在 ，使
注意到 ，可得
由此可得
当 时，可相仿得出上述结论 .
证法 2 如果先将所给不等式变形：当 时，化为 ，
令 ，
则 ，
因此 在 内单调减少。注意到 ，可知当 时，
有
从而 。
相仿，当 时，所给不等式可恒等变形为 ，令，仿上同样可证。
例题2 求
解析 先将所给极限变形，利用等价无穷小代换
例题3 求函数 的极值与极值点，并求相应曲线的拐点、凹区间与凸区间。
解析 所给函数的定义域为
令 可得 y 的驻点
当 x = 0 时， y 不可导。
当 时， 存在。
列表分析
0
+
0
-
不存在
-
0
+
-
-
-
不存在
+
+
+
凸
极大
凸
拐点
（0，0）
凹
极小
凹
可知 y 的极大值点为 ，极大值
y 的极小值点 ，极小值
曲线的凸区间为 ；曲线的凹区间为 ．
曲线的拐点为（ 0 ， 0 ） .
例题4求 在 上的最大值、最小值、最大值点与最小值点
解析 在 上有定义。
令 可得 的驻点 由于考虑的范围是 ，
而 不在 上，故应舍掉。
由于
可知 为 在 上的最大值点；最大值 为 在 上的最小值点；最小值
例题5 曲线 ，则（ ）
A 、没有渐近线； B 、仅有水平渐近线；
C 、仅有铅直渐近线； D 、有水平渐近线，又有铅直渐近线。
解析 只需依渐近线定义来判定。
由于 , 因此曲线 有水平渐近线 ,可知应排除 A 、 C.
由于 ，可知曲线 有铅直渐近线 ，可知 B 不正确， D 正确。
综合之，本例应选 D.
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