西交《高等数学（上）》faq（三）
西交《高等数学（上）》FAQ（三）第三章 微分的应用
一、在教材中给出了导数的哪些应用？
导数的应用在教材中可归为两类问题：
（1）利用导数来研究函数的性态：函数的增减性、函数的极值、曲线的凹凸性与拐点、曲线的弯曲程度（曲率）、曲线的渐近线等，描绘函数的图形。
（2）利用导数来研究最大值、最小值的应用问题。
二、最值与极值有何不同？
极大（小）值上指函数在 的某邻域满足 ( 或 ) ，因此说极值是函数在局部范围的性质。
而函数的最大（小）值是指 ( 或 ) 对 上所有点 都成立，因此说最值是函数在区间 上的整体性质。
三、极值点与拐点的表示法有什么不同？
极值点 是达到极值的横坐标 ，常称 为函数 的极值点。
而拐点为曲线 上的点 ，需用点的横、纵坐标来表示，常称 为曲线 的拐点。
四、怎样利用导数来判断函数的单调性？
利用导数来判断函数的单调性往往比用定义判断函数的单调性方便。
根据导数的性质，在 内若 ，则 在 内严格单调增加。具体数值。因此利用导数判断函数 在 内的单调性可采用下列步骤：
（1）求出 ， 的点及导数不存在的点。
（2）上述点将 分为有限个子区间，对这些子区间逐一判断 在该区间内的符号。
若在某个子区间内 ，则可判断 在该子区间内严格单调增加。若在某子区间内 则可判断 在该子区间内严格单调减少。
五、怎样利用导数求函数 在 内的极值点？
求 在 内极值点的通常步骤是：
（1）求出 在 内的驻点 ，即满足 的点（）
（2）求出 的导数在 内不存在但函数连续的点 ；
（3）若 在 ， 的邻域内可导（不包含 ），则可以利用极值的第一充分条件判定。当 在 和 点的两侧异号时，则 ， 为 的极值点；若 在 或 的两侧同号，则 ， 不为 的极值点。
（4）若 存在，且较易求出，则可以利用极值第二充分条件判定。若 ，则 为 的极小值点；若 ，则 为 的极大值点。
若 ，则极限的第二充分条件失效。
六、怎样利用导数求连续函数 ，在 上的最值与最值点？
求连续函数 在 上最值与最值点的通常步骤为：
（1）求出 在 内所有驻点及导数不存在的点 。
（2）比较 。其中最大（小）者，即为 在上的最大（小）值、相应的 即为最大（小）值点。
七、怎样利用导数求曲线 的 凹凸区间与拐点？
若曲线 为 内的连续曲线，求其拐点与 凹凸区间的通常步骤为：
（1）求 及 在 内二阶导数不存在的点 ；
（2）如果 为 内的连续函数，求出使 的点 ；
（3）若在上述点 两侧 异号，则曲线上相应的点 为曲线 的拐点。
在 的范围内，曲线 为 凹的。
在 的范围内，曲线 为 凸的。
八、描绘函数 的图形的步骤为何？
描述函数 的图形的通常步骤为：
（1）确定函数的定义域。
（2）判定函数的奇偶性与周期性。
（3）求出 ， 确定出 的驻点及导数不存在的点。
（4）求出 ， 确定出 不存在的点。如果 为连续函数，求出使 的点。
（5）确定曲线 的渐近线。
（6）将上述所求点按 由小到大的顺序列在一个表中，并将定义域用上述点分隔为一些子区间。分别确定出在这些子区间内 ， 的符号，从而确定 的性态。
（7）再适当增加几个特殊点，描绘图形。
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