兰大高等数学(1)在线考试考前辅导材料（2020.5）
兰大高等数学(1)在线考试考前辅导材料（2020.5）1.考试复习所用教材：《高等数学（第5版）》（上册）同济大学应用数学系
2. 题型和分值：
一、单选题 ( 每题4分 共10题 总分值40分 ) ；
二、判断 ( 每题2分 共10题 总分值20分 ) ；
三、计算题 ( 每题10分 共4题 总分值40分 )；
3．复习重点
一．函数
例题：下列各对函数中，为同一函数的是（D ）
A.
B.
C.
D.
解析：A选项tan(2x)=2tanx/(1-〖tan〗^2 x)，B选项右边一项定义域为x≠-1，C选项右边一项定义域为x≥0.
（2）奇偶函数
例题：已知f(x)是定义域D上的奇函数，g(x)是定义域D上的偶函数，则下列说法中正确的是（ ）
A. f(x)+g(x)为奇函数 B. f(x)+g(x)为偶函数
C. f(x)g(x)为奇函数 D. f(x)g(x)为偶函数
解析：答案为C。已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，那么f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)。令u(x)=f(x)g(x), u(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)=-u(x)，那么u(x)即f(x)g(x)为奇函数。
例题：设函数f(x)=1/x,g(x)=1-x,则f(g(x))=( )
A.1-1/x B. 1+1/x C.1/(1-x) D.x
解析：答案为C。f(g(x))=1/(g(x))=1/(1-x)
二．极限
例题：1.
解析：答案为B。重要极限lim┬(n→∞)〖(1+1/n)^n 〗=e,原式可化为lim┬(n→∞)〖(1+1/n)^n 〗×(1+1/n)^3=e×1=e.
2.判断
解析：错误。S(n)=1/1+1/2+1/3+...+1/n，证明S(n)可以达到无穷大：
1/1 = 1
1/2 = 1/2 >= 1/2
1/3+1/4 >= 1/4+1/4 >=1/2.
1/5+1/6+1/7+1/8 >= (1/8)*4 >=1/2
………………
S(2^n)>=(1/2)*n+1
所以S(n)没有极限，即函数发散。
例题：
解析：lim┬(x→0)〖(1-cos2x)/xsinx=〗 lim┬(x→0)〖(1/2 〖(2x)〗^2)/x^2 =2〗
解析：正确。取x_n=1/(2nπ+π/2)，则lim┬(n→∞)〖x_n=0〗，且1/〖x_n〗^2sin 1/x_n =〖(2nπ+π/2)〗^2，此时lim┬(n→∞)〖1/〖x_n〗^2sin 1/x_n 〗=∞，所以无界。再取y_n=1/2nπ，lim┬(n→∞)〖y_n=0〗，且1/〖y_n〗^2sin 1/y_n =0，不符合无穷大的定义。
时， （ ）
A. 无穷大量 B. 无穷小量 C. 有界变量 D. 无界变量
解析：答案C。-1≤sin(1/x)≤1，当x->0，根据无穷小量的定义，有界函数与无穷小量之积为无穷小量。limx->0时,x*sin(1/x)=0，所以原始为有界变量
求极限 （1 分）
解析：
由洛必达法则
三．函数的连续性
例题
解析：f(x)在x=1连续，在x=2不连续。lim┬(x→1-0)〖f(x)=〗 lim┬(x→1-0)〖(2x-1)=lim┬(x→1+0)〖x^2=f(1)=1〗 〗，即f(x)在x=1连续。lim┬(x→2-0)〖f(x)=〗 lim┬(x→2-0)〖x^2≠lim┬(x→2+0)〖(2x+1)〗 〗，即在x=2不连续，但是lim┬(x→2-0)〖f(x)=〗 lim┬(x→2-0)〖x^2=f(2)〗，f（x）左连续。
四．导数
例题：1.设 ，求
解析：dy/dx=(d(x+√(1+x^2 )))/(x+√(1+x^2 ))=(1+x/√(1+x^2 ))/(x+√(1+x^2 ))=1/(x+√(1+x^2 ))
解析：错误。y=x^(1/3),它在点x=0 不可导，但是在点x=0处切线是存在的，切线为x=0。
解析：正确。函数f（x）=|x|。这个函数在x=0点处连续，但是这个函数在x=0点处的左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等，所以这个函数在x=0这点不可导。记住“可导必连续，连续不一定可导”
解析：错误。F(x)=2x,g(x)=x.x<0时，f(x)<g(x).
解析：答案B。设h(x)=f(x)-g(x),则h^'(x) =f^'(x) -g^' (x)=0,故h(x)为常数。
已知 在 处可导，则 （ ） （1 分）
A. B. C. 0 D.
解析：答案B。lim┬(x→0)〖(f(a+x)-f(a-x))/x〗=lim┬(x→0)〖(f(a+x)-f(a)+f(a)-f(a-x))/x〗=lim┬(x→0)〖(f(a+x)-f(a))/x〗+lim┬(x→0)〖(f(a)-f(a-x))/x〗=2f'(a)
设 在 可导且 ，则 （ ）
A. 0 B. C. D.
解析：答案C。lim┬(h→0)〖(f(x_0+2h)-f(x_0-3h))/h〗=lim┬(h→0)〖(f(x_0+2h)-f(x_0 )+f(x_0 )-f(x_0-3h))/h〗=lim┬(h→0)〖(f(x_0+2h)-f(x_0 ))/h〗+lim┬(h→0)〖(f(x_0 )-f(x_0-3h))/h〗=5f^' (x_0 )=5a.
设 ，求
五．中值定理
例题
解析：答案A。对f(x)求导，得到f^' (x)=(2x-4x^3)/3 ∛(x^2 〖(1-x^2)〗^2 )，故x=-1,0,1时，f^' (x)没意义，根据罗尔定理条件，在开区间（a,b）内应处处可导，故x=-1,0,1不可在区间内同时存在。
例题：
解析：y^'=12x^3-12x^2，y^''=36x^2-24x=12x(3x-2)，令y^''=0，解得x=0或x=2/3。所以曲线拐点为（0，1），（2/3,11/27）。当x<0或x>2/3时，y''>0，则曲线的偶区间为(-∞,0),(2/3,+∞)；当0<x<2/3时，y^''<0，则曲线的凸区间为(0,2/3)。
洛必达法则
六．不定积分
例题：
（ ） （1 分）
A. B. C. D.
解析：答案C。∫▒〖x^3 √x〗 dx=∫▒x^(7/2)dx=2/9 x^(9/2)+C
解析：答案为C。∫▒〖f(x)dx=F(x)+c〗,∫▒〖f^'(x)dx=f(x)+c,(∫▒〖f(x)dx)'=(F(x)+c〗)^'=f(x)〗
解析：答案C。令lnx=t,x=e^t，即f^' (t)=e^t,t>0.f(t)=∫▒〖f'(t)dt〗=∫▒〖e^t dt=e^t+C.〗即f(x)=e^x+C,x=0时，f(0)=e^0+C=1+C=0，C=-1.所以f(x)=e^x-1，x>0
（ ）
A. B. C. D.
解析：答案C。∫▒〖x^2/(1+x^2 ) dx=∫▒〖(1+x^2-1)/(1+x^2 ) dx=∫▒〖(1-1/(1+x^2 ))dx=x-arctgx+C〗〗〗
解析：答案D.∫▒〖dF(x)〗=∫▒〖F^' (x)dx=〗 ∫▒〖f(x)dx=〗 F(x)+C
解析：lim┬(x→0)〖(∫_1^cosx▒〖e^(〖-t〗^2 ) dt〗)/x^2 =lim┬(x→0)〖(e^(〖-cosx〗^2 ) (cosx)')/2x=〗 〗 lim┬(x→0)〖(e^(〖-cosx〗^2 )×(-sinx))/2x=-e^(-1)/2=-1/2e〗
求不定积分
解析：∫▒xsin2xdx=-1/2 ∫▒xdcos2x=-1/2 (xcos2x-∫▒cos2xdx)=-1/2 (xcos2x-1/2 sin2x)=-1/2 xcos2x+1/4 sin2x
解析：原式=∫▒〖(1/sinx(1+cosx) +1/(1+cosx))dx=∫▒〖(sinx/(〖sin〗^2 x(1+cosx))+(1-cosx)/(1-〖cos〗^2 x))dx=-∫▒〖dcosx/((1-〖cos〗^2 x)(1+cosx))+∫▒〖1/(〖sin〗^2 x) dx-〗〗〗〗 ∫▒〖dsinx/(〖sin〗^2 x)=-∫▒〖dcosx/(〖(1+cosx)〗^2 (1-cosx))-cotx+1/sinx=〗〗-1/2 ∫▒〖((1+cosx)+(1-cosx))/((1+cosx)^2 (1-cosx) ) dcosx-cotx+1/sinx=-1/2〗 ∫▒〖1/(1+cosx)^2dcosx-1/2 ∫▒〖1/(1-cosx)(1+cosx)dcosx-cotx+1/sinx=1/2(1+cosx) -1/4〗〗 ∫▒〖1/(1+cosx) dcosx〗-1/4 ∫▒〖1/(1-cosx) dcosx〗-cotx=1/2(1+cosx) -cotx-1/4ln(1+cosx)+1/4ln(1-cosx)+C.
求
解析：∫▒〖(x^2+x+1)/(x(x^2+1)) dx=∫▒〖(1/x+1/(x^2+1)〗〗)dx=∫▒〖1/x dx+∫▒〖1/(x^2+1) dx=lnx+arctanx+C〗〗
解析：
（ ） （1 分）
A. B.
C. D.
解析：答案为A。
（ ）
A. 1 B. C. D. -1
解析：答案为B。∫_0^2▒〖x(1-x)dx〗=∫_0^2▒〖(x-x^2)dx〗=(x^2/2-x^3/3) |_0^2=-2/3
例题：
解析：答案为C。ds=R√((1-cost)^2+〖sin〗^2 t) dt=
√2 R√(1-cost) dt.∫▒〖y^2 ds〗=√2 ∫_0^2π▒〖R^3 〖(1-cost)〗^(5/2) dt〗=4√2 R^3 ∫_0^(π/2)▒〖〖(1-cost)〗^(5/2) dt〗=256/15 R^3
解析：答案为错误。S=∫_0^1▒〖-x(x-1)(2-x)dx〗+∫_1^2▒〖x(x-1)(2-x)dx〗
解析：dx/dt=a(-sint+sint+tcost)=atcost,dy/dt=a(cost-cost+tsint)=atsint,ds=√((〖dx/dt)〗^2+(〖dy/dt)〗^2 ) dt=√((〖atcost)〗^2+(〖atsint)〗^2 ) dt=√(a^2 t^2 〖cos〗^2 t+a^2 t^2 〖sin〗^2 t) dt=atdt,∫▒〖(x^2+y^2 )ds=∫_0^2π▒〖(a^2 〖(cost+tsint)〗^2 〗〗+a^2 〖(sint-tcost)〗^2)∙atdt=∫_0^2π▒〖a^3 (t+t^3 )dt=a^3 (t^2/2+t^4/4) |_0^2π=2a^3 π^2 (1+2π^2)〗
七．向量
解析：
解析：
解析：
解析：
解析：过点且垂直于平面的直线方程为x-3=(y+1)/2=(z+1)/3=t,x=3+t,y=2t-1,z=3t-1，带入平面方程，3+t+2(2t-1)+3(3t-1)-30=0,t=16/7,投影即焦点为（37/7,25/7,41/7）
解析：设S_1:{█(x^2+y^2≤1@z=1)┤，方向与z轴负向。设D为S_1在xOy上的投影，Ω为S+S_1所围成的区域。则I=∬_S▒〖(2x+z)dydz〗+zdxdy=∬_(S+S_1)▒〖(2x+z)dydz〗+zdxdy-∬_(S_1)▒(2x+z)dydz+zdxdy=∭_Ω▒(2+1)dxdydz=3∫_0^2π▒〖dθ∫_0^1▒〖rdr∫_(r^2)^2▒(-(-π))dz〗〗=-3/2 π,∬_(S_1)▒(2x+z)dydz+zdxdy=-∬_D▒〖-dxdy〗=∬_D▒dxdy=π,I=-π/2
解析：〖(x^2+y^2+z^2)〗^2=a^3 z,可以写作r^4=a^3 rcosφ，得到r=〖acosφ〗^(1/3)，因为r>0，所以φ∈,V=∭▒r^2sinφdrdθdφ=∫_0^2π▒dθ ∫_0^(π/2)▒dφ ∫_0^(〖acosφ〗^(1/3))▒〖r^2 sinφdr〗=(πa^3)/3
解析：y=4,该图形是个垂直于y轴的平面图形。z=(x^2+y^2)/4=x^2/4+4,z^' (x)=x/2,x=2时，z^' (x)=x/2=1=tanm,m=45°
解析：正确。设与平面x+y+4z+19=0平行的平面方程为x+y+4z+C=0，带入点（-1，0，1），得C=-3.
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